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万博manbetx官网app下载万博体育手机版登陆网www.sdcrgk.cn 发布时间: 2018年04月01日

多元函数微分学知识点睛

知识结构:

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必备基础知识

偏导数的概念(增量比值的极限)几元函数就由几个偏导数

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全微分的定义如果函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点(xy)的全增量

Dz=f(x+Dxy+Dy)-f(xy)

可表示为

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其中AB不依赖于DxDy而仅与xy有关,则称函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点(xy)可微分,而称ADx+BDy为函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点(xy)的全微分,记作【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛,即

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如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分。

全微分存在的充分必要条件

(必要条件):如果函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛可微分,则该函数在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛的偏导数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛必存在,且函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛的全微分为:【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛

(充分条件) 如果函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛的偏导数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛连续,则该函数在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛可微分.习惯上,记全微分为:

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★二阶偏导数

1)纯偏导

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2)混合偏导

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★二元函数的极值定义

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有

f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),

则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).

极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点。

主要考察知识点和典型例题:

考点一:偏导数的计算(对谁求偏导,谁是变量,其余看成常数)

根据偏导数的定义,偏导数的本质是增量比值的极限,而增量中只有一个变量发生了变化,其余的变量不变(不变就是常数),所以求偏导数的方法和求导数的方法是一样的

典型例题【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛在点【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛处的偏导数.

:(1)对【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛求偏导,把【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛为变量,函数中的【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛看成常数,则:【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛

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往年真题设函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛,则【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛等于(A)

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考点二:全微分计算(求全微分就是把所有的偏导数都求出来,乘上相应变量的微分后相加)

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解:【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛

考点三:复合函数的偏导数——作为一般掌握

(同路相乘,异路相加,同级不通路)

1、中间变量是一元函数的情形

复合函数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛

链式法则如图示:

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公式中的导数【万博manbetx官网app下载成考万博官网登录入口】数学1--多元函数微分学知识点睛称为全导数

 


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